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6つの三角形が不可能な渦へと折り畳まれる仕組み
フラクタルと神聖幾何学

6つの三角形が不可能な渦へと折り畳まれる仕組み

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作品について

ハンガリーの造形作家エルデーイ・ダーニエル(Erdély Dániel)が発見したスピドロン(Spidron)は、1/√3の比率で縮小する正三角形と二等辺三角形が交互に連なる不可能な幾何学的スパイラルアームです。6本のスピドロンアームが1つの中心で噛み合うとき、平坦なユークリッド空間は連続的な3次元キネティック・アコーディオン渦へと折り畳まれます。本動画は、6軸六角スピドロン・テセレーションの全工程を1本の途切れない軌跡で描き出し、0.000mmの誤差なく完璧な周期的閉合を達成します。

関連動画: The Architecture of Infinity | The Seven Sacred Portals

再生リスト: Fractals & Sacred Patterns (フラクタルと神聖幾何学)

Artismathicは数式を視覚芸術へと昇華させます。

#数学アート #スピドロン #幾何学 #テセレーション #フラクタル #折り紙 #渦 #Blender3D #ショート #数学

作品を生み出す数式

Spidron Logarithmic Spiral and Folded Relief\text{Spidron Logarithmic Spiral and Folded Relief}si=3−i⋅0.375,θi=kπ3+iπ6,i=0,…,7, k=0,…,5s_i = 3^{-i\cdot 0.375},\quad \theta_i = \frac{k\pi}{3} + \frac{i\pi}{6},\quad i=0,\ldots,7,\ k=0,\ldots,5z(r,θ)=−0.10(1−r)1.2+0.045cos⁡(6θ)sin⁡(πr)+0.02sin⁡(12θ+4r)(1−r2)z(r,\theta) = -0.10(1-r)^{1.2} + 0.045\cos(6\theta)\sin(\pi r) + 0.02\sin(12\theta+4r)(1-r^2)r(u)=(rucos⁡θu, rusin⁡θu, z(ru,θu))\mathbf r(u) = \left( r_u\cos\theta_u,\, r_u\sin\theta_u,\, z(r_u,\theta_u) \right)

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ショート · 60fpsたった1つの数式でダイヤモンドの雪の結晶を咲かせられるか？
フラクタルと神聖幾何学Full HD 60fps

たった1つの数式でダイヤモンドの雪の結晶を咲かせられるか？

Sector replication and linear edge interpolation\text{Sector replication and linear edge interpolation}Rk=(cos⁡(kπ/3)−sin⁡(kπ/3)0sin⁡(kπ/3)cos⁡(kπ/3)0001),k=0,…,5R_k=\begin{pmatrix}\cos(k\pi/3)&-\sin(k\pi/3)&0\\\sin(k\pi/3)&\cos(k\pi/3)&0\\0&0&1\end{pmatrix},\quad k=0,\ldots,5Qk,j=RkPj,Pj∈stored sector vertices\mathbf Q_{k,j}=R_k\mathbf P_j,\quad\mathbf P_j\in\text{stored sector vertices}q(λ)=(1−λ)Qi+λQi+1,0≤λ≤1\mathbf q(\lambda)=(1-\lambda)\mathbf Q_i+\lambda\mathbf Q_{i+1},\quad0\leq\lambda\leq1

人の手を介さず、たった1本の数学的な曲線で精緻な六角形の氷の結晶を成長させることはできるでしょうか？ D6二面体群(Dihedral)の結晶不変量と正確な60度間隔の自己相似デンドライト樹状分岐に従い、このダイヤモンド雪の結晶は、1本の途切れない軌跡の中で多層シェブロン針、中間星型スパー、ファセット槍先を織り成し、0.000mmの誤差なく完璧な周期的閉合を達成します。

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ショート · 60fps三つの球体が閉じ込めた無限の空白
フラクタルと神聖幾何学Full HD 60fps

三つの球体が閉じ込めた無限の空白

Sphere geometry before path construction\text{Sphere geometry before path construction}Cj∈12{(1,1,1),(1,−1,−1),(−1,1,−1),(−1,−1,1)}\mathbf C_j\in\frac1{\sqrt2}\{(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)\}∥x−Cj∥=1,rinner=3/2−1\|\mathbf x-\mathbf C_j\|=1,\quad r_{\mathrm{inner}}=\sqrt{3/2}-1∥x∥=rinner,Pij=Ci+Cj2\|\mathbf x\|=r_{\mathrm{inner}},\quad\mathbf P_{ij}=\frac{\mathbf C_i+\mathbf C_j}{2}

3次元空間で4つの球体が互いに接するとき、どのような幾何学が生まれるでしょうか。デカルトの4球面定理に支配された3Dアポロニアン球面フォームは、互いに外接する球体を四面体ケージの中に圧縮します。その中心には、すべての球面に同時に接する不可能な内接球面「ソディの空白」が潜んでいます。たった1本の光の軌跡が正確な接点のみを通過し、0.000mmの周期閉合を達成します。

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ショート · 60fps無限の円が交差せずに口づけすることはできるか？
フラクタルと神聖幾何学Full HD 60fps

無限の円が交差せずに口づけすることはできるか？

Nested ring rule used within the circle layout\text{Nested ring rule used within the circle layout}φ=1+52,rk+1=rk/φ\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad r_{k+1}=r_k/\varphiP=C+r0(cos⁡α,sin⁡α)\mathbf P=\mathbf C+r_0(\cos\alpha,\sin\alpha)Ck+1=P−rk+1(cos⁡α,sin⁡α)\mathbf C_{k+1}=\mathbf P-r_{k+1}(\cos\alpha,\sin\alpha)qk+1(t)=Ck+1+rk+1(cos⁡(α+t),sin⁡(α+t))\mathbf q_{k+1}(t)=\mathbf C_{k+1}+r_{k+1}(\cos(\alpha+t),\sin(\alpha+t))

無限の円が互いに交差することなく、完璧な調和を保ちながら口づけを交わすことができるでしょうか？ デカルトの円定理(Descartes' Circle Theorem)に従うアポロニアン・ガスケット(Apollonian Gasket)は、すべての隙間を再帰的に接する円で精密に満たしていきます。正確な数学的接点をたどり、一筆書きの滑らかな軌道で誤差0.000mmの周期的閉合を達成します。

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